Team:TU Munich/model/guidedata
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1 <a id='magicparlabel-26987'></a> Introduction:
2 <a id='magicparlabel-15424'></a> Choice of Model
3 <a id='magicparlabel-12414'></a> Mass Action Law
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow><mi> α </mi><mi>A</mi><mo>+</mo><mi> β </mi><mi>B</mi><mover accent='false'><munder accent='false'><mo> ⇋ </mo> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub></munder> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>-</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub></mover><mi> γ </mi><mi>C</mi><mo>+</mo><mi> δ </mi><mi>D</mi> </mrow></mrow></math>
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover> </mtd> <mtd><mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow><mi> α </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>C</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> γ </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>D</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> δ </mi> </mrow> </msup><mo>-</mo><mi> α </mi><mi> γ </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>-</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>A</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> α </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>B</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> β </mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>B</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover> </mtd> <mtd><mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow><mi> β </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>C</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> γ </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>D</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> δ </mi> </mrow> </msup><mo>-</mo><mi> β </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>-</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>A</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> α </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>B</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> β </mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>C</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover> </mtd> <mtd><mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow><mi> γ </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>-</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>A</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> α </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>B</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> β </mi> </mrow> </msup><mo>-</mo><mi> γ </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>C</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> γ </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>D</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> δ </mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>D</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover> </mtd> <mtd><mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow><mi> δ </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>-</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>A</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> α </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>B</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> β </mi> </mrow> </msup><mo>-</mo><mi> δ </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>C</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> γ </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>D</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> δ </mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable></mrow></math>
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow><mi> α </mi><mi>A</mi><mo>+</mo><mi> β </mi><mi>B</mi><mover accent='false'><mo> → </mo> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub></mover><mi> γ </mi><mi>A</mi><mi>B</mi> </mrow></mrow></math>
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover> </mtd> <mtd><mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow><mo>-</mo><mi> α </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>A</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> α </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>B</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> β </mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>B</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover> </mtd> <mtd><mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow><mo>-</mo><mi> β </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>A</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> α </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>B</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> β </mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>A</mi><mi>B</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover> </mtd> <mtd><mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow><mi> γ </mi> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>r</mi> </mrow> <mrow><mo>+</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub><mo>[</mo><mi>A</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> α </mi> </mrow> </msup><mo>[</mo><mi>B</mi> <msup> <mrow><mo>]</mo> </mrow> <mrow><mi> β </mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable></mrow></math>
4 <a id='magicparlabel-16601'></a> Degradation
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>X</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover><mo>=</mo> <mi>… </mi><mo>-</mo><mi>k</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>X</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow></mrow></math>
where <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>k</mi></mrow></math> is typically the the inverse of the half-value period of the degradation process. Sometimes this k also takes account of cell division, then the inverse of the half-value period of the cell cycle is added.
5 <a id='magicparlabel-12416'></a> Transcription
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>m</mi><mi>R</mi><mi>N</mi><mi>A</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover><mo>=</mo> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>l</mi> </mrow> </msub><mo>+</mo> <mi>… </mi><mspace width="40px" /> <mstyle class='mathbox'> <mrow>with constituent transcription rate <mstyle class='math'> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>l</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow></mrow></math>
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow> <mi>… </mi><mo>+</mo> <mfrac> <mrow><mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi> τ </mi> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow><mn>1</mn> </mrow> <mrow><mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>m</mi><mi>R</mi><mi>N</mi><mi>A</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>+</mo> <mi>… </mi><mspace width="40px" /> <mstyle class='mathbox'> <mrow>with half-value period <mstyle class='math'> <msub> <mrow><mi> τ </mi> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow><mn>1</mn> </mrow> <mrow><mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow></mrow></math>
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow> <mi>… </mi><mo>+</mo> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi> </mrow> </mrow> </msub><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mi>,</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>R</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> </mrow></mrow></math>
with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow></math> maximum transcription rate of the gene and some function<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mi>,</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>R</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> </mrow> </mrow></math> that can depend on the activator concentration <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow></math> and the repressor concentration <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>R</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo></mrow></math>.
The most basic model for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>g</mi></mrow></math> is a Hill-Function
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow><mi>g</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow><mn>1</mn><mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>R</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>R</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>+</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>R</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>R</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> <msup> <mrow><mo>)</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mrow>for repression </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>+</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> <msup> <mrow><mo>)</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mrow>for activation </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>+</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> <msup> <mrow><mo>)</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac><mo>*</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> <mrow><mn>1</mn><mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>R</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>R</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>+</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>R</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>R</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> <msup> <mrow><mo>)</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mrow>for both </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mrow/> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow></mrow></math>
where the parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow><mi>n</mi> </mrow></math> is used to fit the shape of the function to gathered data. If no data is available a general rule of thumb is that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mi>n</mi> </mrow></math> is the number of molecules involved in the binding process. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow></math> and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>R</mi> </mrow> </msub></mrow></math> are the binding rates of activator and repressor.
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow><mi>g</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><munder accent='false'><mover accent='false'><mo> ∑ </mo><mi>n</mi></mover> <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> </mrow></munder><mi>(</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> <msup> <mrow><mo>)</mo> </mrow> <mrow><mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mrow>sequential binding </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><munder accent='false'><mover accent='false'><mo> ∑ </mo><mi>n</mi></mover> <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> </mrow></munder><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd><mi>n</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mi>k</mi> </mtd> </mtr> </mtable><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>)</mo><mi>(</mi><mo>⁡</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> <msup> <mrow><mo>)</mo> </mrow> <mrow><mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mrow>independent binding </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mrow/> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mrow>for no cooperativity </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><munder accent='false'><mover accent='false'><mo> ∏ </mo><mi>n</mi></mover> <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> </mrow></munder> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow><mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mrow><munder accent='false'><mover accent='false'><mo> ∑ </mo><mi>n</mi></mover> <mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> </mrow></munder> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>j</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><munder accent='false'><mover accent='false'><mo> ∏ </mo><mi>j</mi></mover> <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> </mrow></munder> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow><mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mrow>sequential binding </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mfrac> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow><mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><munder accent='false'><mover accent='false'><mo> ∑ </mo><mi>n</mi></mover> <mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> </mrow></munder> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd><mi>n</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mi>j</mi> </mtd> </mtr> </mtable><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow><mi>j</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow><munder accent='false'><mover accent='false'><mo> ∏ </mo><mi>j</mi></mover> <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> </mrow></munder> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow><mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mrow>independent binding </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mrow/> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mstyle class='mathbox'> <mstyle class='mathbox'> <mrow>for cooperative binding </mrow> </mstyle> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mrow/> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow></mrow></math>
where cooperative binding means that the binding rate of the other binding sites is affected if an activator binds to a specific binding site and sequential binding means that an activator can only bind if the previous binding site is occupied. For cooperative binding the different binding rates are denoted by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow><mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow></math> whereas in case of no cooperativity all <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi>A</mi> </mrow> <mrow><mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow></math> are equal and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mrow><mi>k</mi> </mrow> <mrow><mi>A</mi> </mrow> </msub></mrow></math> is used respectively.
6 <a id='magicparlabel-12417'></a> Translation
The next step after transcription of the DNA is the translation of the mRNA into proteins. Since the binding rates of the ribosome and folding process are widely unknown it is advisable to use a very simplifyied model for the translation process which only involves a translation rate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>s</mi> </mrow> </mrow> </msub></mrow></math> linearly scaling with availability of mRNA
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>i</mi><mi>n</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover><mo>=</mo> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>s</mi> </mrow> </mrow> </msub><mo>*</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>m</mi><mi>R</mi><mi>N</mi><mi>A</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>-</mo> <mfrac> <mrow><mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi> τ </mi> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow><mn>1</mn> </mrow> <mrow><mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>i</mi><mi>n</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow></mrow></math>
If the time <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <msub> <mrow><mi> τ </mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>f</mi><mi>o</mi><mi>l</mi><mi>d</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow></math> needed for the folding of the protein is known it could be implemented by using Delay Differential Equations with the folding time as constant delay <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mrow> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>i</mi><mi>n</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover><mo>=</mo> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>s</mi> </mrow> </mrow> </msub><mo>*</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>m</mi><mi>R</mi><mi>N</mi><mi>A</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> <mrow><mi>t</mi><mo>-</mo> <msub> <mrow><mi> τ </mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>f</mi><mi>o</mi><mi>l</mi><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>g</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>-</mo> <mfrac> <mrow><mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mrow><mi> τ </mi> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow><mn>1</mn> </mrow> <mrow><mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>i</mi><mi>n</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow></mrow></math>
7 <a id='magicparlabel-26119'></a> Protein Activity
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>u</mi><mi>c</mi><mi>t</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover><mo>=</mo> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi> </mrow> </mrow> </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>i</mi><mi>n</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> <mfrac> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>S</mi><mi>u</mi><mi>b</mi><mi>s</mi><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mi>e</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> <mrow> <mrow><mi>K</mi><mo>+</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>S</mi><mi>u</mi><mi>b</mi><mi>s</mi><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mi>e</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow></mrow></math>
where <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi> </mrow> </mrow> </msub></mrow></math> is the maximum protein activity and K is the concentration of substrate at which half the maximum activity is achieved. If the initial substrate concentration is much larger than K, we can simplify this equation to
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow> <mover> <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>u</mi><mi>c</mi><mi>t</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover><mo>=</mo> <msub> <mrow><mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi> </mrow> </mrow> </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>i</mi><mi>n</mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> </mrow></mrow></math>
8 <a id='magicparlabel-14055'></a> Initial Data
9 <a id='magicparlabel-13227'></a> Simplification
In some cases your model will involve multiple subsystems that work on different timescales which will most probably lead to ill-posed problems which cause numerical problems. These timescales can be identified by dimensional analysis and sufficiently fast subsystems can be assumed to reach their steady state instantly. This means that if the reaction for x is fast its differential equation <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow> <mover> <mrow><mi>x</mi> </mrow><mo stretchy="true">˙</mo> </mover><mo>=</mo><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> <mi>… </mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> </mrow></mrow></math>
<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow> <mrow><mn>0</mn><mo>=</mo><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> <mrow> <mover> <mrow><mi>x</mi> </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> </mover><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo> <mi>… </mi> </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> </mrow></mrow></math>